光学计量笔记

笔记

TSV 深度的白光干涉测量：原理、极限与误差来源

Through-silicon-via depth by white-light interferometry

TSV白光干涉深宽比数值孔径

硅通孔（through-silicon via，TSV）是穿过硅衬底的垂直互连孔，孔里填铜。常见的量级是直径几 μm 到几十 μm、深度几十到上百 μm，深宽比（aspect ratio，AR）从 5:1 到 10:1 甚至更高。孔刻蚀后的深度是关键工艺指标：太浅，减薄后露不出铜；太深，浪费且增加应力。白光干涉是测它的主要光学手段之一。

本文的数字（极限深度、偏差大小）都是数量级估计，用来建立直觉、判断某个方案值不值得试，不是仪器指标。实际精度要用已知台阶高度的标准件和截面 SEM 之类的参考方法对标。

1. 三条测量路线#

路线 光从哪里进 测的是什么 优点 难点
正面成像式扫描白光干涉 孔口 孔口表面与孔底的高度差 全场成像、速度快 深窄孔底部信号弱
正面单点光谱域（小光斑探头） 孔口，光斑对准孔中心 同上，不用机械扫描 无运动部件，可集成 光斑要对准孔，且受深宽比限制
背面红外透射 衬底背面，波长 ≳ 1.1 μm（硅透明） 孔底到背面的剩余硅厚度，或减薄后的深度 光不必进孔，不受深宽比限制 需要红外光源和探测器；要知道硅的群折射率

前两条路线的光要进孔再出来，限制在下面第 3、4 节分析。第三条路线绕开了孔，但要把光程换算成几何厚度，换算的细节见第 2 节。

2. 从光程到几何深度#

用 光谱域深度谱 里的约定：深度谱的峰给出 zapp=OPD/2=nghz_{\mathrm{app}} = \mathrm{OPD}/2 = n_g\,h。

  • 空气（或真空）中的孔： h=zapph = z_{\mathrm{app}}。
  • 透过硅测量： h=zapp/ngSih = z_{\mathrm{app}} / n_g^{\mathrm{Si}}，其中 ngSi≈3.6n_g^{\mathrm{Si}} \approx 3.6（1.3–1.55 μm 附近）。

用群折射率，不是相位折射率。 硅在 1.3–1.55 μm 的相位折射率约 3.5，群折射率约 3.6。如果误用 3.48，100 μm 厚度会差约 3.4 μm（3.4%）。ngn_g 随波长和温度变化，使用前请按所用波段查表或用已知厚度的硅片实测标定。

3. 估计一：自由传播能进多深#

先想最简单的情形：孔是直的、侧壁吸收，光从孔口进去、被孔底反射、再出孔口。光有两个办法被挡掉：

几何遮挡。 从孔口中心入射、与孔轴夹角 θ\theta 的光线，要不碰到侧壁到达孔底，需要 htan⁡θ≲D/2h\tan\theta \lesssim D/2，也就是

NAgeo≈D2h=12AR. \mathrm{NA}_{\mathrm{geo}} \approx \frac{D}{2h} = \frac{1}{2\,\mathrm{AR}} .

AR 5:1 时约 0.10，10:1 时约 0.05，20:1 时约 0.025。

衍射。 小 NA 意味着大光斑，光束在孔里还没聚焦就已经宽过孔径了。取高斯光束，聚焦在孔的中部，选最优的束腰，则孔口和孔底处的 1/e21/e^2 光束直径是 2λh/π2\sqrt{\lambda h/\pi}。要求它不大于孔径 DD（此时约 86.5% 的功率落在孔径内），得到

hmax=πD24λ. h_{\max} = \frac{\pi D^2}{4\lambda}.

这个关系说明：孔径、波长共同决定了"光能自由传播到的最大深度"，与光学系统的好坏无关。

孔径 DD λ=0.85μm\lambda = 0.85\,\mu\mathrm{m} λ=1.31μm\lambda = 1.31\,\mu\mathrm{m}
5 μm 23 μm（AR 4.6） 15 μm（AR 3.0）
10 μm 92 μm（AR 9.2） 60 μm（AR 6.0）
20 μm 370 μm（AR 18.5） 240 μm（AR 12.0）
左：高斯光束不被孔径削掉的最大深度，虚线是几个常见的深宽比。右：数值孔径造成的深度偏差（下一节）。

读这张表要小心：

  • 它是自由传播的估计。孔壁并不是纯吸收体，侧壁反射和孔内多次反射会把更多光导到孔底，只是会同时引入多条光程不同的路径，使孔底的峰变宽、变形。
  • 波长越短越有利，但可见光和近红外短波段进不了硅，只能从孔口入射，所以走正面路线时倾向用短波。
  • 孔径缩到 5 μm 时，这个极限已经落到 15–23 μm，远小于典型的 50–100 μm 深度。此时孔底信号必然被严重削弱，测量依赖的是被削剩的那一小部分光，对准误差、孔口形貌、孔底粗糙度都会放大。

最佳聚焦 NA#

同样的高斯光束模型给出最优束腰 w0=λh/(2π)w_0 = \sqrt{\lambda h/(2\pi)}，对应的 NA 为

NAopt≈λπw0=2λπh. \mathrm{NA}_{\mathrm{opt}} \approx \frac{\lambda}{\pi w_0} = \sqrt{\frac{2\lambda}{\pi h}} .

h=100μmh = 100\,\mu\mathrm{m} 时，λ=1.31μm\lambda = 1.31\,\mu\mathrm{m} 对应 0.09，λ=0.85μm\lambda = 0.85\,\mu\mathrm{m} 对应 0.07。也就是说，测深孔需要的是一个中小 NA（0.1 以下）的聚焦，不是高 NA 物镜。

4. 估计二：数值孔径造成的深度偏差#

聚焦光束里有各种角度的平面波成分。对夹角为 θ\theta 的平面波，两个相距 hh 的平行面反射后的光程差是 2hcos⁡θ2h\cos\theta（不是 2h2h，更不是 2h/cos⁡θ2h/\cos\theta：两条反射光方向平行但横向错开，只有投影到传播方向上的路径差才产生相位差）。所以深度谱的峰位对应的是各角度的加权平均：

zapp=h⟨cos⁡θ⟩≈h(1−NA24) z_{\mathrm{app}} = h\,\langle\cos\theta\rangle \approx h\Big(1 - \frac{\mathrm{NA}^2}{4}\Big)

（光瞳均匀填充，空气中）。透过折射率为 nn 的介质时，sin⁡θn=sin⁡θ/n\sin\theta_n = \sin\theta/n，偏差被压缩到 NA2/(4n2)\mathrm{NA}^2/(4n^2)。

数值孔径 空气中，h=100μmh = 100\,\mu\mathrm{m} 透过硅（n≈3.5n\approx 3.5），h=100μmh = 100\,\mu\mathrm{m}
0.1 −0.25 μm −0.02 μm
0.2 −1.00 μm −0.08 μm
0.3 −2.25 μm −0.18 μm

结论有两点：

  • 偏差总是读小，与 NA2\mathrm{NA}^2 和深度成正比。
  • 透过硅测量时，偏差被 n2≈12n^2\approx 12 压低，基本可以忽略。空气中的深孔测量里，在上面算的最佳 NA（约 0.09）下，偏差约 −0.2 μm（h=100μmh = 100\,\mu\mathrm{m}），小于其他误差源，但用高 NA 物镜（0.3 以上）就会到 μm 量级。

高斯加权的光瞳比均匀光瞳的偏差更小。这个数是估计，不是修正值；需要修正时应该用台阶标准件标出来。

5. 误差来源清单#

  1. 折射率 / 群折射率。 透过硅测量时，ngn_g 的取值是最大的系统误差来源（第 2 节：误用相位折射率差 3.4%）。
  2. 波长轴标定。 波长轴有常数偏移 δλ\delta\lambda，深度读数相对误差约 2δλ/λ‾2\,\delta\lambda/\bar\lambda（见 光谱域深度谱 第 6 节）。以 1.31 μm 为中心，偏 1 nm 约 0.15%。
  3. 孔底形貌。 孔底不是平的（圆弧形、带尖角、有残留物），峰会变宽。"孔深"需要明确定义（取峰顶、取前沿，还是取强度最大的位置），不同定义会差几百 nm。
  4. 侧壁锥度。 孔越深，实际孔径越小，第 3 节的极限比按孔口算的更严。
  5. 对准。 光斑相对孔中心的偏移，对窄孔的孔底信号影响很大，也会改变峰的形状。
  6. 孔内多路径。 侧壁反射的光多走了路，在孔底峰的深侧留下一个拖尾，把峰拉向更深。
  7. 衬底与薄膜。 孔口、孔壁常有氧化硅衬垫和阻挡层，薄膜干涉会给孔口附近的峰带来额外结构。

6. 怎样落地#

  1. 先按第 3 节估计你的孔径、深度是否在自由传播的范围内。不在的话，路线一、二的信号会很弱，值得优先考虑背面红外路线。
  2. 选 NA 时按第 3 节的 NAopt\mathrm{NA}_{\mathrm{opt}} 取中小 NA，不要盲目追求高分辨率物镜。
  3. 用已知台阶高度的标准件标定一次整套系统（包含波长轴、NA 偏差、软件算法的取峰方式），再用截面 SEM 对几个样品对标。
  4. 需要报告不确定度时，按第 5 节清单逐项估计，别只报重复性。